Въпрос по Теоретична Механика

[the slow heart]

Привет колеги,
чуденката ми е следната:

В Кинематиката когато се разглеждат въртеливите движения се ползват
векторни изражения за ъгловите скорости и ускорения и ми беше странно
защо не се ползва векторно изражение и за изменението на ъгловата координата,
от което те произлизат.

Скоро разбрах че това е така,
защото при сумиране на крайни нараствания на ъглови координати по две различни оси например,
не е в сила комутативния закон валиден при векторните изражения.

Да обаче, за безкрайно малки нараствания на ъглови координати не било така,
тоест комутативния закон не бил нарушен, което позволявавало тези нараствания да ползват
векторни изражения, и съответно без проблем ъгловите скорости и ускорения да са вектори.

Разяснение на тая идея за принципна разлика между крайни и безкрайно малки
нараствания на ъглови координати имало тук, но нямам достъп до това:
http://books.google.bg/books/about/P...AJ&redir_esc=y

Затова ще съм благодарен ако някой знае и сподели.

[locksmith]

От: Въпрос по Теоретична Механика

В Кинематиката когато се разглеждат въртеливите движения се ползват
векторни изражения за ъгловите скорости и ускорения и ми беше странно
защо не се ползва векторно изражение и за изменението на ъгловата координата,
от което те произлизат.

Ами, колега, като че ли във въпроса ти се съдържа и отговора, или опитай да го зададеш по-ясно - нали разбираш, че {изменението на ъгловата кордината} е всъщност самата {ъглова скорост} по дефиниция...!?
Или просто не съм ти разбрал добре въпроса.....

[the slow heart]

От: Въпрос по Теоретична Механика

Може и да не съм се изразил ясно.
Вземи например зарче и го търкулни първо напред, после наляво като отбележиш коя цифра отива отгоре.
Ако повториш опита от същата начална позиция, но първо наляво и после напред отгоре ще се окаже друга цифра.
Това е пример че не можеш да разменяш местата на операциите и да запазиш резултата.
Затова крайните изменения на ъглова координата не могат да се събират като вектори,
тоест не ги означават така. Бях го забелязал, но не се бях замислял защо е така.

Очевидно обаче за безкрайно малките изменения на същата координата не е така и те се приемат за вектори,
щом ползват вектори за ъглови скорости и ускорения. Тоест ако не въртиш
зарчето на 90 градуса в примера, а на безкрайно малки ъгли ще е
без значение дали го правиш първо наляво и после напред или обратно.
И въпроса ми беше защо така, къде се крие разликата.

Както и да е, порових се че ми беше интересно и намерих задоволително обяснение за себе си.
Когато се погледне развъртането на радиус вектора за да се реализира
изменението на ъгловата координата се вижда разликата.
Безкрайно малкото преместване на този радиус вектор всъщност
премества върха му по безкрайно малък участък съответстващ на безкрайно малкия ъгъл на поворот спрямо центъра.
Тъй като нарастването е нищожно тази микро-дъгичка се приема справедливо математически за права.
С други думи това изменение има големина и посока т.е. може да е вектор,
и няма проблем със векторните операции. От него се дели на радиуса ( число ) и
получаваме вектор за безкрайно малкото изменение на ъгловата координата, делим отново на
безкрайно малкото нарастване на времето (число ) и стигаме до краен резултат ( число ) за ъглова скорост с
големина и посока, тоест веееектор ( както знаехме добре преди да се размислим за глупости )

Ако обаче радиус вектора се развърта на краен ъгъл тогава върха му описва дъга,
което макар да има дължина няма твърдо определена посока и не може да се приеме за вектор.

[locksmith]

От: Въпрос по Теоретична Механика

Аха, сега разбрах смисъла на въпроса ти - смисълът на "безкрайно малките величини" всъщност е да доведат разглежданите сложни и трудно-дефинируеми условия, до такива, които са добре изучени, с ясно действащи физични закони и работеща математика - нарича се диференциално смятане /ако не се лъжа, основоположено от Нютон и съвременниците му/.
Както правилно си разбрал, в безкрайно малко приближение дъгата има свойството на права, а закона за движението по права линия е изведен едва ли не в древни времена - когато го приложиш, решиш уравнението, налагайки съответните гранични условия на задачата, следва да го "умножиш" обратно до достигане на първоначалната цялост /викат му интегрално смятане/ и, воала - ето ти началото на висшата математика - изкл. интересна наука, особено, когато започне човек да прилага физичните закони и условия на действие и започне да разбира какво богатство от разбиране на света му дава!
Е, трудна наука е, но... си заслужава!

Поздрави, че си разбрал и сам отговора на въпроса си!